首页 ComputerGraphics Physics-Based Rendering

# 双向反射分布函数（BRDF）

双向反射分布函数（BRDF）是一个用于描述表面反射特性的函数。它是在微平面理论上建立的。

在下文中，我们约定：

  • nn 为宏观表面法线
  • vv 为观察方向
  • ll 为光照方向
  • hh 为半矢量（Half-vector），即 normalize(v+l)normalize(v + l)
  • α\alpha 为粗糙度参数（通常在引擎中定义为 α=roughness2\alpha = roughness^2）

# Cook-Torrance BRDF 模型

为了在着色器中模拟微小镜面这种现象，我们通常使用 Cook-Torrance BRDF 模型。
其镜面反射部分由三个关键函数组成：法线分布函数（D）、几何遮挡（G）、菲涅尔（F）

fs=D⋅G⋅F4(n⋅l)(n⋅v)f_s = \dfrac{D \cdot G \cdot F}{4(n \cdot l)(n \cdot v)}

# 法线分布函数（Normal Distribution Function, NDF）

它描述了有多少比例的微平面法线正好对准了半矢量（Half-vector, h），从而能将光线反射到观察者眼中。这是最关键的部分。主流算法：GGX (Trowbridge-Reitz)。它在处理高光边缘时有非常漂亮的拖尾效果，是目前游戏行业的标配。
计算方法：

D=α2π((n⋅h)2(α2−1)+1)2D = \dfrac{\alpha^2}{\pi((n \cdot h)^2(\alpha^2 - 1) + 1)^2}

# 几何函数（Geometry Function）

它描述了微平面之间的相互遮挡，表现为更窄小的高光峰值点，以及更长的衰减弥散，这让材质的高光看起来更加的真实。遮蔽描述了微平面挡住了反射给观察者的光。阴影描述了微平面挡住了入射的光。如果没有 G 项，粗糙表面在掠射角会显得异常明亮，不符合能量守恒。主流算法：Smith-GGX 高度相关几何遮蔽、可见性函数 V_Smith

Smith-GGX 高度相关几何遮蔽：传统的 Smith 几何函数假设遮蔽和阴影是独立的。但在现实中，如果一个点从观察方向被遮挡了，它从光照方向被遮挡的概率也会更高。高度相关版本修正了这一点。

G=2(n⋅l)(n⋅v)(n⋅v)(n⋅l)2(1−α2)+α2+(n⋅l)(n⋅v)2(1−α2)+α2G = \dfrac{2(n \cdot l)(n \cdot v)}{(n \cdot v)\sqrt{(n \cdot l)^2(1 - \alpha^2) + \alpha^2} + (n \cdot l)\sqrt{(n \cdot v)^2(1 - \alpha^2) + \alpha^2}}

可见性函数 V_Smith
在 Cook-Torrance BRDF 公式中，分母通常带有 4(n⋅l)(n⋅v)4(n \cdot l)(n \cdot v)。为了优化计算，我们会将 G 项与之合并，定义为 Visibility Term (V)。使用上述高度相关 G 项后，V 项可以简化。

V=G4(n⋅l)(n⋅v)=0.5(n⋅v)(n⋅l)2(1−α2)+α2+(n⋅l)(n⋅v)2(1−α2)+α2V = \dfrac{G}{4(n \cdot l)(n \cdot v)} = \dfrac{0.5}{(n \cdot v)\sqrt{(n \cdot l)^2(1 - \alpha^2) + \alpha^2} + (n \cdot l)\sqrt{(n \cdot v)^2(1 - \alpha^2) + \alpha^2}}

注意：使用 V_Smith 时，BRDF 模型中的分母会被约掉，此时计算方法变为：

fs=D⋅V⋅Ff_s = D \cdot V \cdot F

UE4 的 GGX-Smith Correlated Joint 近似方案

V=0.5(n⋅l)((n⋅v)(1−α)+α)+(n⋅v)((n⋅l)(1−α)+α)V = \dfrac{0.5}{(n \cdot l)((n \cdot v)(1 - \alpha) + \alpha) + (n \cdot v)((n \cdot l)(1 - \alpha) + \alpha)}

Unity HDRP 的 GGX-Smith Correlated Joint 近似方案

β=roughness\beta = roughness

V=0.5(n⋅l)((n⋅v)(1−β)+β)+(n⋅v)(n⋅l)2(1−β2)+β2V = \dfrac{0.5}{(n \cdot l)((n \cdot v)(1 - \beta) + \beta) + (n \cdot v)\sqrt{(n \cdot l)^2(1 - \beta^2) + \beta^2}}

# 菲涅尔方程（Fresnel Equation）

描述了光线在不同角度下反射与折射的比例。几乎所有物体在接近 90° 观察时，反射率都会急剧上升。对于粗糙的表面，反射会更加地明显，但不会完全达到 100% 高光反射。反射的效果受每个微面元的法线与光的角度影响，而非取决于整个宏观面的法线与光的角度。表面粗糙时，光线被微面元进行不同角度的弥散反射，所以整个反射效果看起来会更加柔和。
常用近似：Schlick 近似。

F0=lerp(0.04,albedo,metallic)F_0 = lerp(0.04, albedo, metallic)

F=F0+(1−F0)(1−(h⋅v))5F = F_0 + (1 - F_0)(1 - (h \cdot v))^5

F0F_0 是材质的基础反射率（垂直入射时的反射率），albedoalbedo 是反照率（通常为纹理采样值），metallicmetallic 是金属度。在游戏引擎中，电介质（绝缘体）的 F0F_0 通常硬编码为 0.040.04，而金属（导体）的 F0F_0 则是其自身颜色，或者像本文这样用金属度影响菲涅尔反射率。

# BRDF 与 Albedo 的计算

计算方式如下：

specular=fs=D⋅V⋅Fspecular = f_s = D \cdot V \cdot F

kd=(1−F)(1−metallic)kd = (1 - F)(1 - metallic)

diffuse=kd⋅albedoπdiffuse = \dfrac{kd \cdot albedo}{\pi}

brdf=(diffuse+specular)(n⋅l)brdf = (diffuse + specular)(n \cdot l)

关于 kdkd
1−F1 - F 是为了排除镜面反射。FF 代表了光线被镜面反射的比例，根据能量守恒，剩下的 1−F1 - F 就是进入物体表面的光线比例。
1−metallic1 - metallic 是为了考虑金属度。对于纯金属 (metallic=1metallic = 1)，kdkd 会变为 00。在 PBR 理论中，金属的所有漫反射颜色都会被吸收，它们只显示镜面反射的颜色（通常是受金属色调影响的 FF）。对于非金属 (metallic=0metallic = 0)，kd=(1−F)kd = (1 - F)。除了被镜面反射的那部分光，剩下的全部参与漫反射计算。
如果没有这个系数，当菲尼尔效应很强时（例如在掠射角观查物体），镜面反射 fsf_s 会非常大，如果此时漫反射依然保持满额强度，物体反射出的总能量就会超过入射能量，导致渲染出来的边缘看起来过亮且不真实。

关于 π\pi
在纯物理公式中，漫反射需要除以 π\pi 来保证能量守恒。但在 Unity 以及大多数游戏引擎中，光源的强度通常已经隐含了 π\pi 的补偿。如果你手动除以 π\pi，物体的亮度会下降。所以，是否除以 π\pi 要根据引擎的情况决定。