# Kulla-Conty 多次散射补偿

# 单次反射的问题

经典的 BRDF 模型只描述单次表面反射。但真实微面之间会互相遮挡、反弹。
对于粗糙度较高的材质，由于模型忽略了光线在微表面间的多次弹射，所以会导致渲染结果比真实情况偏暗，且能量不守恒。

在游戏开发中，Kulla-Conty 近似方案是解决微表面模型能量流失的标准方法。Kulla-Conty 提供了一个简单且高效的经验公式来补偿这些丢失的多次散射能量。

在下文中，我们约定：

$n$ 为宏观表面法线
$v$ 为观察方向
$l$ 为光照方向
$\mu_o = n \cdot v$ 观察方向与法线的夹角余弦
$\mu_i = n \cdot l$ 光照方向与法线的夹角余弦
$f_{ss}$ 单次散射 BRDF 传统的微表面项
如果把法线 $n$ $n$ 看作球体的北极
- $\theta$ 是极角，代表纬度，决定了向量离法线有多远
- $\phi$ 是方位角，代表经度，决定了向量绕着法线转到了哪个方向。
- $\phi_o$ 指的是出射方向（即视线 $v$ ）在表面切平面上的旋转角度

第一步：计算方向反照率 $E(\mu)$

$E(\mu) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} f_{ss}(\mu, \mu_o, \phi) \mu_o d\mu_o d\phi_o$

对于一个入射方向 $\mu_i$ ，单次散射模型反射出的总能量为 $E(\mu_i)$ 。那么丢失的能量就是 $1 - E(\mu_i)$

第二步：计算平均反照率 $E_{avg}$ 这是对所有入射角度的 $E(\mu)$ 进行二次加权平均

$E_{avg} = 2 \int_{0}^{1} E(\mu) \mu d\mu$

第三步：构造多次散射补偿项 $f_{ms}$
为了补全能量，Kulla-Conty 提出了一个对称的补偿项。对于纯白物体，补偿项与单次反射项相加后，总的反照率接近 1

$f_{ms}(\mu_i, \mu_o) = \frac{(1 - E(\mu_i))(1 - E(\mu_o))}{\pi (1 - E_{avg})}$

$(1 - E(\mu_o))(1 - E(\mu_i))$ 确保了根据观察角和入射角成比例地补充能量
$\pi (1 - E_{avg})$ 是归一化因子，保证积分后的总能量恰好等于丢失的总量

第四步，考虑菲涅尔效应
上面的公式假设反射率是 $100\%$ 。对于带颜色的金属或非金属，需要引入平均菲涅尔项 $F_{avg}$ 对补偿项进行修正。
为了得到 $F_{avg}$ ，我们需要对这个函数在半球上进行加权积分：

$F_{avg} = 2 \int_{0}^{1} (F_0 + (1 - F_0)(1 - \mu)^5) \mu d\mu$

经过积分演算，可以得到一个非常简洁的线性代数公式：

$F_{avg} = F_0 + (1 - F_0)(1 / 21)$

$F_{avg} = \frac{20}{21} F_0 + \frac{1}{21}$

最终结果

$f_{final} = f_{ss} + \frac{f_{ms} \cdot F_{avg}}{1 - F_{avg}(1 - E_{avg})}$

在游戏开发中的实现
在 Shader 中实时计算积分是很耗费性能的，所以通常的做法是将积分预计算并存储在一张 2D 贴图（LUT）中。在渲染管线中，直接读取这张图得到积分值，其他部分仍然按照上述公式计算即可。

计算方式如下：

$specular = f_{final}$

$kd = (1 - F)(1 - metallic)$

$diffuse = \dfrac{kd \cdot albedo}{\pi}$

$brdf = (diffuse + specular)(n \cdot l)$

在物理模型中，如果镜面反射因为多次散射而变强了，那么理论上留给漫反射的能量应该减少。
但是为了性能、计算复杂度、视觉效果之间的平衡，通常不会因为加入了 $f_{ms}$ 而去扣除漫反射的能量，所以 $kd$ 中仍然使用菲涅尔项 $F$ ，不做更改。